如图四棱锥$P-ABCD$中$PB\bot（$底面$ABCD$$CD\bot PD$底面$ABCD$为直角梯形$,AD$∥$BC$$AB\bot BC$$AB=AD=PB=3$点$E$在棱$PA$上且$PE=2EA$.（1）求$BC$的长；（2）求异面直线$PA$与$CD$所成的角；（3）求二面角$A-BE-D$的余弦值.","title_text":"如图四棱锥$P-ABCD$中$PB\bot $底面$ABCD$$CD\bot PD$底面$ABCD$为直角梯形$,AD$∥$BC$$AB\bot BC$$AB=AD=PB=3$点$E$在棱$PA$上且$PE=2EA$.（1）求$BC$的长；（2）求异面直线$PA$与$CD$所成的角；（3）求二面角$A-BE-D$的余弦值.）

想必现在有很多小伙伴对于如图，四棱锥$P-ABCD$中，$PB\bot $底面$ABCD$，$CD\bot PD$，底面$ABCD$为直角梯形$,AD$∥$BC$，$AB\bot BC$，$AB=AD=PB=3$，点$E$在棱$PA$上，且$PE=2EA$.（1）求$BC$的长；（2）求异面直线$PA$与$CD$所成的角；（3）求二面角$A-BE-D$的余弦值.","title_text":"如图，四棱锥$P-ABCD$中，$PB\bot $底面$ABCD$，$CD\bot PD$，底面$ABCD$为直角梯形$,AD$∥$BC$，$AB\bot BC$，$AB=AD=PB=3$，点$E$在棱$PA$上，且$PE=2EA$.（1）求$BC$的长；（2）求异面直线$PA$与$CD$所成的角；（3）求二面角$A-BE-D$的余弦值.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，四棱锥$P-ABCD$中，$PB\bot $底面$ABCD$，$CD\bot PD$，底面$ABCD$为直角梯形$,AD$∥$BC$，$AB\bot BC$，$AB=AD=PB=3$，点$E$在棱$PA$上，且$PE=2EA$.（1）求$BC$的长；（2）求异面直线$PA$与$CD$所成的角；（3）求二面角$A-BE-D$的余弦值.","title_text":"如图，四棱锥$P-ABCD$中，$PB\bot $底面$ABCD$，$CD\bot PD$，底面$ABCD$为直角梯形$,AD$∥$BC$，$AB\bot BC$，$AB=AD=PB=3$，点$E$在棱$PA$上，且$PE=2EA$.（1）求$BC$的长；（2）求异面直线$PA$与$CD$所成的角；（3）求二面角$A-BE-D$的余弦值.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

（1）以$B$为原点，$BC$、$BA$、$BP$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴，

建立空间直角坐标系$B-xyz$.设$BC=a$，

则$Aleft(0,3,0right),Pleft(0,0,3right),Dleft(3,3,0right),Cleft(a,0,0right),$

$overrightarrow {CD}=left(3-a,3,0right)$，$overrightarrow {PD}=left(3,3,-3right)$.

$because CDbot PD$，$therefore overrightarrow {CD}cdot overrightarrow {PD}=3left(3-aright)+9=0$，

解得$a=6$，$therefore Cleft(6,0,0right).therefore BC=6$.

（2）由（1）知$Cleft(6,0,0right)$，$therefore overrightarrow {CD}=left(-3,3,0right)$，$overrightarrow {PA}=left(0,3,-3right)$，

$therefore cos lt overrightarrow {PA}$，$overrightarrow {CD} gt =dfrac{9}{3sqrt{2}times 3sqrt{2}}=dfrac{1}{2}$，

$therefore $异面直线$PA$与$CD$所成的角等于$60^{circ}$.

（3）设平面$BED$的法向量$overrightarrow {n}=left(x,y,zright)$，

$because PE=2EA$，$therefore Eleft(0,2,1right)$，$overrightarrow {BE}=left(0,2,1right)$，$overrightarrow {BD}=left(3,3,0right)$，

由$left{begin{array}{}overrightarrow {n}cdot overrightarrow {BE}=0 overrightarrow {n}cdot overrightarrow {BD}=0end{array}right.$，得$left{begin{array}{}2y+z=0 3x+3y=0end{array}right.$，取$x=1$，得$overrightarrow {n}=left(1,-1,2right)$.

又$because $平面$ABE$的法向量$overrightarrow {m}=left(1,0,0right)$，

$therefore cos lt overrightarrow {n}$，$overrightarrow {m} gt =dfrac{1}{sqrt{6}}=dfrac{sqrt{6}}{6}$，

$therefore $二面角$A-BE-D$的余弦值为$dfrac{sqrt{6}}{6}$.

本文到此结束，希望对大家有所帮助。